Matrik

MATRIK

MATRIK
• Matriks adalah adalah susunan skalar elemen-elemen dalam bentuk baris dan kolom.
• Matriks A yang berukuran dari m baris dan n kolom (m  n) adalah:

• Matriks bujursangkar adalah matriks yang berukuran n  n.
• Dalam praktek, kita lazim menuliskan matriks dengan notasi ringkas A = [aij].
Contoh 1.1 Di bawah ini adalah matriks yang berukuran 3  4:

• Matriks simetri adalah matriks yang aij = aji untuk setiap i dan j.
Contoh 1.2 Di bawah ini adalah contoh matriks simetri.

7
• Matriks zero-one (0/1) adalah matriks yang setiap elemennya hanya bernilai 0 atau 1.
Contoh 1.3 Di bawah ini adalah contoh matriks 0/1:

Relasi
• Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari A  B.
• Notasi: R  (A  B).
• a R b adalah notasi untuk (a, b)  R, yang artinya a dihubungankan dengan b oleh R
• a R b adalah notasi untuk (a, b)  R, yang artinya a tidak dihubungkan oleh b oleh relasi R.
• Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari R, dan himpunan B disebut daerah hasil (range) dari R.
Contoh 2.1 Misalkan
A = {Amir, Budi, Cecep}, B = {IF221, IF251, IF342, IF323}
A  B = {(Amir, IF221), (Amir, IF251), (Amir, IF342),
(Amir, IF323), (Budi, IF221), (Budi, IF251),
(Budi, IF342), (Budi, IF323), (Cecep, IF221),
(Cecep, IF251), (Cecep, IF342), (Cecep, IF323) }
Misalkan R adalah relasi yang menyatakan mata kuliah yang diambil oleh mahasiswa pada Semester Ganjil, yaitu
R = {(Amir, IF251), (Amir, IF323), (Budi, IF221),
(Budi, IF251), (Cecep, IF323) }
– Dapat dilihat bahwa R  (A  B),
– A adalah daerah asal R, dan B adalah daerah hasil R.
– (Amir, IF251)  R atau Amir R IF251
– (Amir, IF342)  R atau Amir R IF342.
8
Contoh 2.2 Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q dengan
(p, q)  R jika p habis membagi q
maka kita peroleh
R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15) }
• Relasi pada sebuah himpunan adalah relasi yang khusus
• Relasi pada himpunan A adalah relasi dari A  A.
• Relasi pada himpunan A adalah himpunan bagian dari A  A.
Contoh 2.3. Misalkan R adalah relasi pada A = {2, 3, 4, 8, 9} yang didefinisikan oleh (x, y)  R jika x adalah faktor prima dari y. Maka
R = {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (3, 3), (3, 9)}
Representasi Relasi
1. Representasi Relasi dengan Diagram Panah

2. Representasi Relasi dengan Tabel
• Kolom pertama tabel menyatakan daerah asal, sedangkan kolom kedua menyatakan daerah hasil.
Tabel 1 Tabel 2 Tabel 3
A B P Q A A
Amir IF251 2 2 2 2
Amir IF323 2 4 2 4
Budi IF221 4 4 2 8
Budi IF251 2 8 3 3
Cecep IF323 4 8 3 3
3 9
3 15

3. Representasi Relasi dengan Matriks
• Misalkan R adalah relasi dari A = {a1, a2, …, am} dan B = {b1, b2, …, bn}.
• Relasi R dapat disajikan dengan matriks M = [mij],
b1 b2  bn
M =
hal ini :
4. Representasi Relasi dengan Graf Berarah
• Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan secara grafis dengan graf berarah (directed graph atau digraph)
• Graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi dari suatu himpunan ke himpunan lain.
• Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut juga simpul atau vertex), dan tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur (arc)
• Jika (a, b)  R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke simpul b. Simpul a disebut simpul asal (initial vertex) dan simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertex).
• Pasangan terurut (a, a) dinyatakan dengan busur dari simpul a ke simpul a sendiri. Busur semacam itu disebut gelang atau kalang (loop).
Contoh 3.1Misalkan R = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, c), (b, d), (c, a), (c, d), (d, b)} adalah

relasi pada himpunan {a, b, c, d}.
R direpresentasikan dengan graf berarah sbb:
Sifat-sifat Relasi Biner
• Relasi biner yang didefinisikan pada sebuah himpunan mempunyai beberapa sifat.
1. Refleksif (reflexive)
• Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a, a)  R untuk setiap a  A.
• Relasi R pada himpunan A tidak refleksif jika ada a  A sedemikian sehingga (a, a)  R.
Contoh 3.2 Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka
(a) Relasi R = {(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 3),
(4, 4) } bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk (a, a), yaitu (1, 1), (2, 2), (3, 3), dan (4, 4).
(b) Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (4, 2), (4, 3), (4, 4) } tidak bersifat refleksif karena (3, 3)  R.
Contoh 3.3 Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif bersifat refleksif karena setiap bilangan bulat positif habis dibagi dengan dirinya sendiri, sehingga (a, a)R untuk setiap a  A.
Tidak satupun dari ketiga relasi di atas yang refleksif karena, misalkan (2, 2) bukan anggota R, S, maupun T.
• Relasi yang bersifat refleksif mempunyai matriks yang elemen diagonal utamanya semua bernilai 1, atau mii = 1, untuk i = 1, 2, …, n,

• Graf berarah dari relasi yang bersifat refleksif dicirikan adanya gelang pada setiap simpulnya.
2. Menghantar (transitive)
• Relasi R pada himpunan A disebut menghantar jika (a, b)  R dan (b, c)  R, maka (a, c)  R, untuk a, b, c  A.

Contoh 4.1 Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka
(a) R = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3) } bersifat menghantar. Lihat tabel berikut:

Pasangan berbentuk
(a, b) (b, c) (a, c)

(3, 2) (2, 1) (3, 1)
(4, 2) (2, 1) (4, 1)
(4, 3) (3, 1) (4, 1)
(4, 3) (3, 2) (4, 2)

(b) R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak manghantar karena
(c) (2, 4) dan (4, 2)  R, tetapi (2, 2)  R, begitu juga (4, 2) dan (2, 3)  R, tetapi (4, 3)  R.
(d) Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) } jelas menghantar
(e) Relasi R = {(1, 2), (3, 4)} menghantar karena tidak ada
(a, b)  R dan (b, c)  R sedemikian sehingga (a, c)  R.
(f) Relasi yang hanya berisi satu elemen seperti R = {(4, 5)} selalu menghantar.
Contoh 4.2 Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif bersifat menghantar. Misalkan bahwa a habis membagi b dan b habis membagi c. Maka terdapat bilangan positif m dan n sedemikian sehingga b = ma dan c = nb. Di sini c = nma, sehingga a habis membagi c. Jadi, relasi “habis membagi” bersifat menghantar.
Contoh 4.3 Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N.
R : x lebih besar dari y, S : x + y = 6, T : 3x + y = 10

– R adalah relasi menghantar karena jika x > y dan y > z maka x > z.

– S tidak menghantar karena, misalkan (4, 2) dan (2, 4) adalah anggota S tetapi (4, 4)  S.
– T = {(1, 7), (2, 4), (3, 1)} menghantar.
• Relasi yang bersifat menghantar tidak mempunyai ciri khusus pada matriks representasinya
• Sifat menghantar pada graf berarah ditunjukkan oleh: jika ada busur dari a ke b dan dari b ke c, maka juga terdapat busur berarah dari a ke c.
3. Setangkup (symmetric) dan tak-setangkup (antisymmetric)
• Relasi R pada himpunan A disebut setangkup jika untuk semua a, b  A, jika (a, b)  R, maka (b, a)  R.
• Relasi R pada himpunan A tidak setangkup jika (a, b)  R sedemikian sehingga (b, a)  R.
• Relasi R pada himpunan A disebut tolak-setangkup jika untuk semua a, b  A, (a, b)  R dan (b, a)  R hanya jika a = b.
• Relasi R pada himpunan A tidak tolak-setangkup jika ada elemen berbeda a dan b sedemikian sehingga (a, b)  R dan (b, a)  R.
• Perhatikanlah bahwa istilah setangkup dan tolak-setangkup tidaklah berlawanan, karena suatu relasi dapat memiliki kedua sifat itu sekaligus. Namun, relasi tidak dapat memiliki kedua sifat tersebut sekaligus jika ia mengandung beberapa pasangan terurut berbentuk (a, b) yang mana a  b.
– Relasi R dan T keduanya tolak-setangkup (tunjukkan!).
• Relasi yang bersifat setangkup mempunyai matriks yang elemen-elemen di bawah diagonal utama merupakan pencerminan dari elemen-elemen di atas diagonal utama, atau mij = mji = 1, untuk i = 1, 2, …, n :

• Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat setangkup dicirikan oleh: jika ada busur dari a ke b, maka juga ada busur dari b ke a.
• Matriks dari relasi tolak-setangkup mempunyai sifat yaitu jika mij = 1 dengan i  j, maka mji = 0. Dengan kata lain, matriks dari relasi tolak-setangkup adalah jika salah satu dari mij = 0 atau mji = 0 bila i  j :

• Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat tolak-setangkup dicirikan oleh: jika dan hanya jika tidak pernah ada dua busur dalam arah berlawanan antara dua simpul berbeda.
Relasi Inversi
• Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari relasi R, dilambangkan dengan R–1, adalah relasi dari B ke A yang didefinisikan oleh
R–1 = {(b, a) | (a, b)  R }
Contoh 5.1 Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q dengan
(p, q)  R jika p habis membagi q
maka kita peroleh
R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15) }
R–1 adalah invers dari relasi R, yaitu relasi dari Q ke P dengan
(q, p)  R–1 jika q adalah kelipatan dari p
maka kita peroleh
R–1 = {(2, 2), (4, 2), (4, 4), (8, 2), (8, 4), (9, 3), (15, 3) }

Jika M adalah matriks yang merepresentasikan relasi R,
M =

maka matriks yang merepresentasikan relasi R–1, misalkan N, diperoleh dengan melakukan transpose terhadap matriks M,

N = MT =
Mengkombinasikan Relasi
• Karena relasi biner merupakan himpunan pasangan terurut, maka operasi himpunan seperti irisan, gabungan, selisih, dan beda setangkup antara dua relasi atau lebih juga berlaku.
• Jika R1 dan R2 masing-masing adalah relasi dari himpuna A ke himpunan B, maka R1  R2, R1  R2, R1 – R2, dan R1  R2 juga adalah relasi dari A ke B.
Contoh 5.2 Misalkan A = {a, b, c} dan B = {a, b, c, d}.
Relasi R1 = {(a, a), (b, b), (c, c)}
Relasi R2 = {(a, a), (a, b), (a, c), (a, d)}
R1  R2 = {(a, a)}
R1  R2 = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)}
R1  R2 = {(b, b), (c, c)}
R2  R1 = {(a, b), (a, c), (a, d)}
R1  R2 = {(b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)}
• Jika relasi R1 dan R2 masing-masing dinyatakan dengan matriks MR1 dan MR2, maka matriks yang menyatakan gabungan dan irisan dari kedua relasi tersebut adalah
MR1  R2 = MR1  MR2 dan MR1  R2 = MR1  MR2
Contoh 5.3 Misalkan bahwa relasi R1 dan R2 pada himpunan A dinyatakan oleh matriks

R1 = dan R2 =

MR1  R2 = MR1  MR2 =

MR1  R2 = MR1  MR2 =

Komposisi Relasi
• Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dan S adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C. Komposisi R dan S, dinotasikan dengan S  R, adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh
S  R = {(a, c)  a  A, c  C,
dan untuk beberapa b  B, (a, b)  R dan (b, c)  S }
Contoh 1.1 Misalkan
R = {(1, 2), (1, 6), (2, 4), (3, 4), (3, 6), (3, 8)}
adalah relasi dari himpunan {1, 2, 3} ke himpunan {2, 4, 6, 8} dan
S = {(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)}
adalah relasi dari himpunan {2, 4, 6, 8} ke himpunan {s, t, u}.
Maka komposisi relasi R dan S adalah
S  R = {(1, u), (1, t), (2, s), (2, t), (3, s), (3, t), (3, u) }
Komposisi relasi R dan S lebih jelas jika diperagakan dengan diagram panah:

• Jika relasi R1 dan R2 masing-masing dinyatakan dengan matriks MR1 dan MR2, maka matriks yang menyatakan komposisi dari kedua relasi tersebut adalah
MR2  R1 = MR1  MR2
yang dalam hal ini operator “.” sama seperti pada perkalian matriks biasa, tetapi dengan mengganti tanda kali dengan “” dan tanda tambah dengan “”.
Contoh 1.2 Misalkan bahwa relasi R1 dan R2 pada himpunan A dinyatakan oleh matriks

R1 = dan R2 =

maka matriks yang menyatakan R2  R1 adalah

MR2  R1 = MR1 . MR2

=

=

Relasi n-ary
• Relasi biner hanya menghubungkan antara dua buah himpunan.
• Relasi yang lebih umum menghubungkan lebih dari dua buah himpunan. Relasi tersebut dinamakan relasi n-ary (baca: ener).
• Jika n = 2, maka relasinya dinamakan relasi biner (bi = 2). Relasi n-ary mempunyai terapan penting di dalam basisdata.
• Misalkan A1, A2, …, An adalah himpunan. Relasi n-ary R pada himpunan-himpunan tersebut adalah himpunan bagian dari A1  A2  …  An , atau dengan notasi R  A1  A2  …  An. Himpunan A1, A2, …, An disebut daerah asal relasi dan n disebut derajat.
• Basisdata (database) adalah kumpulan tabel.
• Salah satu model basisdata adalah model basisdata relasional (relational database). Model basisdata ini didasarkan pada konsep relasi n-ary.
• Pada basisdata relasional, satu tabel menyatakan satu relasi. Setiap kolom pada tabel disebut atribut. Daerah asal dari atribut adalah himpunan tempat semua anggota atribut tersebut berada.
• Setiap tabel pada basisdata diimplementasikan secara fisik sebagai sebuah file.
• Satu baris data pada tabel menyatakan sebuah record, dan setiap atribut menyatakan sebuah field.
• Secara fisik basisdata adalah kumpulan file, sedangkan file adalah kumpulan record, setiap record terdiri atas sejumlah field.
• Atribut khusus pada tabel yang mengidentifikasikan secara unik elemen relasi disebut kunci (key).
• Operasi yang dilakukan terhadap basisdata dilakukan dengan perintah pertanyaan yang disebut query.
• Query terhadap basisdata relasional dapat dinyatakan secara abstrak dengan operasi pada relasi n-ary.
• Ada beberapa operasi yang dapat digunakan, diantaranya adalah seleksi, proyeksi, dan join.
Fungsi
• Misalkan A dan B himpunan.
Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B.
Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f : A  B
yang artinya f memetakan A ke B.
• A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah hasil (codomain) dari f.
• Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi.
• Kita menuliskan f(a) = b jika elemen a di dalam A dihubungkan dengan elemen b di dalam B.
• Jika f(a) = b, maka b dinamakan bayangan (image) dari a dan a dinamakan pra-bayangan (pre-image) dari b.
• Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut jelajah (range) dari f. Perhatikan bahwa jelajah dari f adalah himpunan bagian (mungkin proper subset) dari B.

• Fungsi adalah relasi yang khusus:
1. Tiap elemen di dalam himpunan A harus digunakan oleh prosedur atau kaidah yang mendefinisikan f.
2. Frasa “dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B” berarti bahwa jika (a, b)  f dan (a, c)  f, maka b = c.
• Fungsi dapat dispesifikasikan dalam berbagai bentuk, diantaranya:
1. Himpunan pasangan terurut.
Seperti pada relasi.
Formula pengisian nilai (assignment).
Contoh: f(x) = 2x + 10, f(x) = x2, dan f(x) = 1/x.
9

2. Kata-kata
Contoh: “f adalah fungsi yang memetakan jumlah bit 1 di dalam suatu string biner”.
Kode program (source code)
Contoh: Fungsi menghitung |x|

function abs(x:integer):integer;
begin
if x < 0 then
abs:=-x
else
abs:=x;
end;
Contoh2.1 Relasi
f = {(1, u), (2, v), (3, w)}
dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi dari A ke B. Di sini f(1) = u, f(2) = v, dan f(3) = w. Daerah asal dari f adalah A dan daerah hasil adalah B. Jelajah dari f adalah {u, v, w}, yang dalam hal ini sama dengan himpunan B.
Contoh 2.2 Relasi
f = {(1, u), (2, u), (3, v)}
dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi dari A ke B, meskipun u merupakan bayangan dari dua elemen A. Daerah asal fungsi adalah A, daerah hasilnya adalah B, dan jelajah fungsi adalah {u, v}.
Contoh 2.3Relasi
f = {(1, u), (2, v), (3, w)}
dari A = {1, 2, 3, 4} ke B = {u, v, w} bukan fungsi, karena tidak semua elemen A dipetakan ke B.
• Jika f adalah fungsi berkoresponden satu-ke-satu dari A ke B, maka kita dapat menemukan balikan (invers) dari f.

• Balikan fungsi dilambangkan dengan f –1. Misalkan a adalah anggota himpunan A dan b adalah anggota himpunan B, maka f -1(b) = a jika f(a) = b.
• Fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu sering dinamakan juga fungsi yang invertible (dapat dibalikkan), karena kita dapat mendefinisikan fungsi balikannya. Sebuah fungsi dikatakan not invertible (tidak dapat dibalikkan) jika ia bukan fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena fungsi balikannya tidak ada.
Contoh 3.1 Relasi
f = {(1, u), (2, w), (3, v)}
dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu. Balikan fungsi f adalah
f -1 = {(u, 1), (w, 2), (v, 3)}
Jadi, f adalah fungsi invertible.
Contoh 3.2Tentukan balikan fungsi f(x) = x – 1.
Penyelesaian:
Fungsi f(x) = x – 1 adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, jadi balikan fungsi tersebut ada.
Misalkan f(x) = y, sehingga y = x – 1, maka x = y + 1. Jadi, balikan fungsi balikannya adalah f-1(y) = y +1.
Contoh 3.3 Tentukan balikan fungsi f(x) = x2 + 1.
Penyelesaian:
Dari Contoh 3.41 dan 3.44 kita sudah menyimpulkan bahwa f(x) = x – 1 bukan fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, sehingga fungsi balikannya tidak ada. Jadi, f(x) = x2 + 1 adalah funsgi yang not invertible.
Komposisi dari dua buah fungsi.
Misalkan g adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, dan f adalah fungsi dari himpunan B ke himpunan C. Komposisi f dan g, dinotasikan dengan f  g, adalah fungsi dari A ke C yang didefinisikan oleh

(f  g)(a) = f(g(a))

Contoh 4.1 Diberikan fungsi
g = {(1, u), (2, u), (3, v)}
yang memetakan A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w}, dan fungsi
f = {(u, y), (v, x), (w, z)}
yang memetakan B = {u, v, w} ke C = {x, y, z}. Fungsi komposisi dari A ke C adalah
f  g = {(1, y), (2, y), (3, x) }
Contoh 4.2 Diberikan fungsi f(x) = x – 1 dan g(x) = x2 + 1. Tentukan f  g dan g  f .
Penyelesaian:
(i) (f  g)(x) = f(g(x)) = f(x2 + 1) = x2 + 1 – 1 = x2.
(ii) (g  f)(x) = g(f(x)) = g(x – 1) = (x –1)2 + 1 = x2 – 2x + 2.
Beberapa Fungsi Khusus
1. Fungsi Floor dan Ceiling
Misalkan x adalah bilangan riil, berarti x berada di antara dua bilangan bulat.
Fungsi floor dari x:
x menyatakan nilai bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x
Fungsi ceiling dari x:
x menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x
Dengan kata lain, fungsi floor membulatkan x ke bawah, sedangkan fungsi ceiling membulatkan x ke atas.
Contoh 4.3 Beberapa contoh nilai fungsi floor dan ceiling:

3.5 = 3 3.5 = 4
0.5 = 0 0.5 = 1
4.8 = 4 4.8 = 5
– 0.5 = – 1 – 0.5 = 0
–3.5 = – 4 –3.5 = – 3

2. Fungsi modulo
Misalkan a adalah sembarang bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat positif.
a mod m memberikan sisa pembagian bilangan bulat bila a dibagi dengan m
a mod m = r sedemikian sehingga a = mq + r, dengan 0  r < m.
Contoh 5.1 Beberapa contoh fungsi modulo

25 mod 7 = 4
15 mod 4 = 0
3612 mod 45 = 12
0 mod 5 = 5
–25 mod 7 = 3 (sebab –25 = 7  (–4) + 3 )

3. Fungsi Faktorial

4. Fungsi Eksponensial

Untuk kasus perpangkatan negatif,

5. Fungsi Logaritmik
Fungsi logaritmik berbentuk
 x = ay
Fungsi Rekursif

• Fungsi f dikatakan fungsi rekursif jika definisi fungsinya mengacu pada dirinya sendiri.

Contoh: n! = 1  2  …  (n – 1)  n = (n – 1)!  n.

Fungsi rekursif disusun oleh dua bagian:
(a) Basis
Bagian yang berisi nilai awal yang tidak mengacu pada dirinya sendiri. Bagian ini juga sekaligus menghentikan definisi rekursif.
(b) Rekurens
Bagian ini mendefinisikan argumen fungsi dalam terminologi dirinya sendiri. Setiap kali fungsi mengacu pada dirinya sendiri, argumen dari fungsi harus lebih dekat ke nilai awal (basis).

Sumber :

DAFTAR PUSTAKA

Invers Matriks Tergeneralisasi secara umum sudah banyak dibahas oleh para pakar Matematika seperti halnya Boullion dkk (1971) dan sebagainya.

Sedangkan Cipher Hill sangat banyak dibahas sebagai bagian dari buku-buku kriptografi seperti pada tulisan Stinson (1995), juga bagian dari aplikasi aljabar dalam buku yang ditulis Anton (1987).

Dari karya-karya di atas, penulis mencoba untuk mengembangkan Cipher Hill

menggunakan teori invers matriks tergeneralisasi. Sejalan dengan bahasan utama

dalam penulisan tugas akhir ini maka digunakan teori-teori dalam buku yang ditulis

Goldberg (1991), Anton (1987), serta Stinson (1995) sebagai sumber utama. Selain itu dilengkapi pula dari banyak sumber di internet

Tentang riankostans

Ingin Menjadi Orang Sukses...
Pos ini dipublikasikan di Uncategorized. Tandai permalink.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s